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特征根怎么求，λE–A求特征值计算技巧( 二 )

小知识


使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：
A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零
此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路
（1）此处似乎只能用特征根法：
特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)
①特征方程有两个不等的实根，设为α，β，
则 {（An-α）/（An-β）}为等比数列
注意：α，β可以互换位置
②特征方程有一个实根，α
则 {1/（An-α）}伟等差数列
③特征方程没有实数根，
则 {An}为循环数列，
每年总要有几个题要来个A2007，A2008，A2009，A20xx
例四：这个例题的数字给的十分有意思——伟强
A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）
特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2
则 {（An+√2）/（An－√2）}为等比数列
（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）
＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]
＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]
＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）
＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]
怎么计算特征根 特征向量 特征方程
数列{An}：满足An+2
+
s*An+1
+
t*An=0
则其对应的特征方程为：x^2
+sx+t=0
,设其两根为α、β
1).当α≠β时，An=k*α^(n-1)
+
m*β^(n-1)
2).当α＝β时，An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通项公式中，建立方程组解之即可
(1).数列{An}满足：An+2
-4*An+1
+4An=0
,A1=1
,A2=2
,求通项An
解：特征方程为
(x-2)^2=0
,所以α＝β＝2
设An=(kn+m)*α^(n-2)　，
所以(k+m)/2
=
1
,(2k+m)=2
,解得：k=2
,m=0
所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)
如何计算特征值？ 一般情况下，特征值与特征向量对应 。
即A=λ《α》不知道你的意思是向量的摸还是λ的模，不过我觉得应该是它本身，响亮的模就是正常计算每项平方相加然后开二次根号 。
画矩阵为行阶梯形矩阵，方法就是第二行减第一行的1/3，把第二行第一个元素消掉，同理消掉第三四行的第一个元素，此时第一行的对角线只有一个元素，然后，第二行不动，消去第二行第二个元素，以此类推 。
数列特征根到底怎么求？ 特征根：特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同 。  称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程 。
特征向量：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量 。
Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式 。 当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解 。

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