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学习知识|怎么求值域，高中函数怎么求值域( 三 )

小知识


分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解

8）求导法
当一个函数在定义域上可导时 ， 可据其导数求最值

9）数形结合
当一个函数图像可作时 ， 通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义 ， 借助于几何方法求出函数的值域
怎么求值域？ 一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察 ， 结合函数的解析式 ， 求得函数的值域 。
例1：求函数y=3+√(2－3x) 的值域 。
点拨：根据算术平方根的性质 ， 先求出√(2－3x) 的值域 。
解：由算术平方根的性质 ， 知√(2－3x)≥0 ，
故3+√(2－3x)≥3 。
∴函数的值域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性 ， 即：（1）被开方数的非负性 ， （2）值的非负性 。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解 ， 这种方法对于一类函数的值域的求法 ， 简捷明了 ， 不失为一种巧法 。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5.y,x∈N)的值域 。
（答案：值域为：｛0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5｝）

二．反函数法
当函数的反函数存在时 ， 则其反函数的定义域就是原函数的值域 。
例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 。
点拨：先求出原函数的反函数 ， 再求出其定义域 。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝ 。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数 。 这种方法体现逆向思维的思想 ， 是数学解题的重要方法之一 。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域 。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域 。
点拨：将被开方数配方成完全平方数 ， 利用二次函数的最值求 。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1 ， 2] 。 此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0 ， 9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用 。 配方法是数学的一种重要的思想方法 。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.
(答案:值域为{y∣y≤2.5})

四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域 ， 但只适用于定义域为R或R除去一两个点 。
例4：求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域 。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程 ， 应用二次方程根的判别式 ， 从而确定出原函数的值域 。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）+(y－3)≥0 ， 解得：2＜y≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解 。 ∴函数的值域为2＜y≤10/3 。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0 ， 由于方程有实数解 ， 故其判别式为非负数 ， 可求得函数的值域 。 常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数 。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域 。
（答案：值域为y≤－8或y>0） 。

五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域 。
例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域 。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围 ， 将目标函数消元、配方 ， 可求出函数的值域 。
解：∵3x2+x+1＞0 ， 上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解 ， 解之得－1≤x≤3/2 ， 又x+y=1 ， 将y=1-x代入z=xy+3x中 ， 得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

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