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学习知识|怎么求值域，高中函数怎么求值域( 五 )

小知识


例4:已知x,y∈R ， 且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域 。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式 ， 设置参数 ， 代入原函数 。
解：由3x-4y-5=0变形得 ， (x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1 。
当k=－3/5时 ， x=3/5,y=－4/5时 ， zmin=1 。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系 ， 一般含有约束条件 ， 将条件转化为比例式 ， 通过设参数 ， 可将原函数转化为单函数的形式 ， 这种解题方法体现诸多思想方法 ， 具有一定的创新意识 。
练习：已知x,y∈R ， 且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域 。 （答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域 。
点拨：将原分式函数 ， 利用长除法转化为一个整式与一个分式之和 。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1) 。
∵1/(x+1)≠0 ， 故y≠3 。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数 。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法 。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域 。 （答案：y≠2）
十二．不等式法
例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域 。
点拨：先求出原函数的反函数 ， 根据自变量的取值范围 ， 构造不等式 。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0
1-x≠0 解得 ， 0＜x<1 。
∴函数的值域（0 ， 1） 。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式 ， 求出函数定义域 ， 进而求值域 。 不等式法是重要的解题工具 ， 它的应用非常广泛 。 是数学解题的方法之一 。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1) 。 （y>1或y<0）
注意变量哦~
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值域是怎么求得？知道了定义域怎么求值域？谁能教一下！ 函数的值域问题及解法
值域的概念：
函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.
值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.
一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.
1．观察法
用于简单的解析式.
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2．配方法
多用于二次(型)函数.
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）
3．换元法
多用于复合型函数.
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.
特别注意中间变量（新量）的变化范围.
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].
4．不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
由0<x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 1/(e-1).
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).
5．最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6．反函数法（有的又叫反解法）
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.
7．单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].
y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).
y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,

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