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学习知识|怎么求值域，高中函数怎么求值域( 四 )

小知识


∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续 ， 故只需比较边界的大小 。
当x=-1时 ， z=－5；当x=3/2时 ， z=15/4 。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝ 。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值 。 对开区间 ， 若存在最值 ， 也可通过求出最值而获得函数的值域 。
练习：若√x为实数 ， 则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞ ， ＋∞） B．[－7 ， ＋∞]
C．[0 ， ＋∞） D．[－5 ， ＋∞）
（答案：D） 。
六．图象法
通过观察函数的图象 ， 运用数形结合的方法得到函数的值域 。
例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域 。
点拨：根据绝对值的意义 ， 去掉符号后转化为分段函数 ， 作出其图象 。
解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示 。
显然函数值y≥3,所以 ， 函数值域[3 ， ＋∞] 。
点评：分段函数应注意函数的端点 。 利用函数的图象
求函数的值域 ， 体现数形结合的思想 。 是解决问题的重要方法 。
求函数值域的方法较多 ， 还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域 。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 。
例1:求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域 。
点拨：由已知的函数是复合函数 ， 即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x) ， 其定义域为x≤1/3 ， 在此区间内分别讨论函数的增减性 ， 从而确定函数的值域 。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数 ， 从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数 ， 而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此 ， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝ 。
点评：利用单调性求函数的值域 ， 是在函数给定的区间上 ， 或求出函数隐含的区间 ， 结合函数的增减性 ， 求出其函数在区间端点的函数值 ， 进而可确定函数的值域 。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域 。 (答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量 ， 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式 ， 进而求出值域 。
例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域 。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数 ， 利用二次函数的最值 ， 确定原函数的值域 。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1) 。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以 ， 原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝ 。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数 ， 通过求出二次函数的最值 ， 从而确定出原函数的值域 。 这种解题的方法体现换元、化归的思想方法 。 它的应用十分广泛 。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域 。 （答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征 ， 赋予几何图形 ， 数形结合 。
例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域 。
点拨：将原函数变形 ， 构造平面图形 ， 由几何知识 ， 确定出函数的值域 。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ， 再切割成12个单位
正方形 。 设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知 ， AK+KC≥AC=5 。 当A、K、C三点共
线时取等号 。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝ 。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数) ， 均可通过构造几何图形 ， 由几何的性质 ， 直观明了、方便简捷 。 这是数形结合思想的体现 。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域 。 （答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法 ， 可将条件转化为比例式 ， 代入目标函数 ， 进而求出原函数的值域 。

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